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직교절선(Orthogonal Trajectory)어떤 곡선군 $F(x,\,y,\,c)=0$이 있을 때, 이 곡선들과 교점에서 항상 수직인 곡선군 $G(x,\,y,\,k)=0$을 직교절선(Orthogonal Trajectory)이라고 한다. $G$를 구하기 위해, 두 곡선이 수직으로 만난다면 각 접선의 기울기의 곱은 항상 -1임을 이용합니다. 우선, 주어진 곡선 방정식 $F(x,\,y,\,c)=0$을 $x$에 대해 미분하여 도함수 $\frac{dy}{dx} = f(x,\,y)$를 구합니다. 직교하는 곡선의 기울기는 원래 기울기의 음의 역수이므로, 미분방정식을 다음과 같이 바꿉니다. $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{f(x,\,y)}$ 변경된 미분방정식을 변수분리법 등을 이용해 적분하여 새로운 ..

적분판정법(The Integral Test)함수 $f$가 구간 $[1,\,\infty]$에서 연속이고 감소하며, 0보다 항상 클 때, $a_n=f(n)$이라면 급수의 수렴 여부는 다음과 같다.$\int_1^{\infty}f(x)dx$가 수렴하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$도 수렴한다.$\int_1^{\infty}f(x)dx$가 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$도 발산한다. 적분 구간을 항상 1부터 잡아야 할 필요는 없습니다. 1보다 큰 정수도 가능합니다. 또한, 함수 $f$가 감소한다는 것은 단조 감소가 아닌 $n$이 충분히 커졌을 때 감소함을 의미합니다.pf) 1) 수렴에 대한 명제 증명$a_n$은 구간 $[n-1,\,n]$를 밑변으로 하고,..

급수(Series)급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\cdots$에 대해서 $n$번째 부분합(Partial Sum) $s_n$은 다음과 같다.$s_n=\sum\limits_{i=1}^{n}a_i=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$수열 $\{s_n\}$이 수렴하고 그 극한값이 $s$일 때, 급수 $\sum a_n$은 수렴한다고 하며, 다음과 같이 나타낸다.$a_1+a_2+\cdots+a_n+\cdots=s\,\,\,or\,\,\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n=s$이때, $s$를 급수의 합이라고 부르며, $\{s_n\}$이 발산하면, 급수가 발산한다고 한다. 등비급수(Geometric Series)$|r|그리고 등비급수의 합은 다..

선형 상미분방정식(Linear ODE)일계상미분방정식의 형태가 다음과 같을 때, 선형 상미분방정식(Linear ODE)이라고 한다.$y'+p(x)y=r(x)$이때, $p(x),\,r(x)$는 $x$에 대한 함수이다.선형 상미분방정식은 $r(x)=0$의 성립 여부에 따라 두 경우로 구분한다. 제차 선형 상미분방정식(Homogeneous Linear ODE)선형 상미분방정식 $y'+p(x)y=r(x)$가 $a\le x\le b$에서 $r(x)=0$인 경우를 제차 선형 상미분방정식(Homogeneous Linear ODE)라고 한다.$y'+p(x)y=0$ $r(x)=0$이므로, 변수분리형 상미분방정식과 같은 방식으로 풉니다. $y$는 $y$끼리, $x$는 $x$끼리 각 변에 묶으면 $\frac{dy}{y}=-..

수열(Sequence)다음과 같은 수의 나열을 수열이라 한다.$\{a_n\}=\{a_1,\,a_2,\,a_3,\,a_4,\,\cdots,\,a_{n-1},\,a_n\}$ 수열의 극한수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\lim\limits_{n \to \infty} a_n=L$일 때, 극한값 $L$이 존재하면 이 수열은 수렴한다고 하며, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다.엄밀하게는 수열 $\{a_n\}$이 극한값 $L$을 가진다는 것은 모든 양수 $\epsilon$과 어떤 정수 $N$이 존재하여, $n>N$일 때, $|a_n-L| 수열의 극한의 성질수열 ${a_n},\,{b_n}$이 수렴하고, $c$가 상수일 때, 수열의 극한의 성질은 다음과 같다.$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n\pm ..

극좌표계에서의 넓이$r=f(\theta)$가 구간 $[a, b]$에서 항상 $0$보다 크거나 같으며, 연속함수이고, $0$A=\int_a^b\frac{1}{2}[f(\theta)]^2d\theta$pf) 극좌표계에서 넓이를 구하기 위해서 극좌표계에서의 적분을 이용해야 한다.극좌표계에서의 적분은 $\Delta\theta$를 사용한다.우선, 각($\theta$)과 원점으로부터의 거리($r$)를 이용한 부채꼴의 넓이에 대한 식은 다음과 같다.$A=\frac{1}{2}r^2\theta$이제, 극좌표상의 $r=f(\theta)$에 대해 $\theta=a$부터 $\theta=b$까지의 영역을 $R$이라고 가정하자.이때, $f$는 구간 $[a, b]$에서 항상 $0$보다 크거나 같으며, 연속함수이고, $0구간 $[a..