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멱급수(Power Series)다음의 형태를 가진 급수를 멱급수라고 한다.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+c_3x^3+\cdots$이때, $x$를 변수, $c_n$을 계수라고 부른다.일반적으로 $(x-a)$에 대한 멱급수($a$에 대한 멱급수)는 다음과 같다.$\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+\cdots$ 멱급수의 수렴 여부멱급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(x-a)^n$은 다음 셋 중 하나이다.(i) $x=a$일 때만 수렴한다.(ii) 모든 $x$에 대해서 수렴한다.(iii) $|x-a|R$이면 발산하는 양수 $R$이 존재한다. (이때, $R$..

절대수렴(Absolute Convrgence)과 조건수렴(Conditional Convergence)1. 급수 $\sum a_n$에 대해 $\sum |a_n|$이 수렴하면 절대수렴한다고 한다.2. 급수 $\sum a_n$에 대해 $\sum |a_n|$이 수렴하지 않고, $\sum a_n$만 수렴할 때, 조건수렴한다고 한다.3. 급수 $\sum a_n$이 절대수렴하면, 수렴한다.pf 3) $a_n$에 대해 다음이 성립한다.$0\le a_n+|a_n|\le 2|a_n|$급수 $\sum |a_n|$이 수렴하므로, $2|a_n|$도 수렴한다.따라서, 비교판정법에 따라, $a_n+|a_n|$도 수렴한다.$\sum a_n=\sum (a_n+|a_n|)-\sum |a_n|$이고, $\sum (a_n+|a_n|),\,..

Echelon Form다음을 만족하는 행렬을 Echelon Form이라고 부른다.1. $0$으로만 이루어지지 않은 행이 있다면, 반드시 $0$으로만 이루어진 행들의 위에 위치한다.2. 각 행의 Leading Entry은 위쪽 행의 선행 성분보다 오른쪽 열에 위치한다.3. Leading Entry보다 아래에 있는 열의 모든 성분은 $0$이다.그리고 다음의 조건을 추가로 만족할 때, Reduced Echelon Form이라고 부른다.4. 각 행의 Leading Entry가 모두 $1$이다.5. Leading Entry가 그 열의 유일한 nonzero 성분이다.*Leading Entry는 각 행의 가장 첫 번째 nonzero 값을 의미합니다. ex) Echelon Form(1)과 Reduced Echelon ..

교대급수(Alternating Series) 항의 부호가 번갈아 나타나는 급수를 의미합니다. 일반식은 다음과 같습니다. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots$ 이때, $n$번째 항 $a_n=(-1)^{n-1}b_n$을 만족하며, $b_n>0$입니다. 교대급수 판정법(Alternating Series Test)교대급수 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}b_n=b_1-b_2+b_3-b_4+\cdots\,\,\,\,\,(b_n>0)$가 다음을 만족할 때, 수렴한다.1) 모든 $n$에 대해, $b_{n+1}\le b_n$2) $\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0$pf) $n$번째 항까지..

2계 제차 선형 미분방정식(Homogeneous Linear ODEs of Second Order)2계 선형 미분방정식(Linear ODEs of Second Order)의 형태는 다음과 같다.$y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)$이때, $p,\,q,\,r$은 $x$에 대한 함수이다. 특히 $p,\,q$는 계수라고 한다.또, $r(x)=0$이면, 제차(homogeneous), $r(x)\neq 0$이면, 비제차(nonhomogeneous)라고 한다. Theorem 1-중첩 원리(Superposition Principle)$y_1,\,y_2$가 2계 제차 선형 미분방정식의 해이면 $y_1,\,y_2$의 선형 결합, 즉 $c_1y_1+c_2y_2$도 해가 된다.(단, $c_1,\,c_2$는 상수) 초기값..

평균 속력(Average Speed)평균 속력 $v_{avg}$는 이동 거리 $d$만큼 이동하는 데 시간 $\Delta t$가 걸릴 때, 다음과 같은 관계를 가진다.$v_{avg}\equiv\frac{d}{\Delta t}$ 평균 속도(Average Velocity)평균 속도 $v_{x,\,avg}$는 변위 $\Delta x$만큼 이동하는데 시간 $\Delta t$가 걸릴 때, 다음과 같은 관계를 가진다.$v_{x,\,avg}\equiv\frac{\Delta x}{\Delta t}=\frac{x_f-x_i}{t_f-t_i}$이때, $x_f,\,t_f$는 종점의 위치와 시간, $x_i,\,t_i$는 시작점의 위치와 시간을 의미한다. 변위는 스칼라값인 이동 거리와 다르게 벡터값이므로, 크기뿐만 아니라 방향을..

초기값이 주어졌다고 해서 항상 해가 하나인 것은 아닙니다. $xy'=y-1,\,\,\,\,y(0)=1$을 풀어보면 $y=cx+1,\,\,\,\,(c는\,상수)$ 가 나오는데 이때 하나 이상의 해를 가집니다. 따라서, 해의 존재성과 함께 해의 유일성이 어떤 조건에서 갖춰지는지 알아보겠습니다. 해의 존재성(Existence)함수 $y'=f(x,\,y)$가 다음과 같은 영역 $R$에서 연속이고 유계일 때, 적어도 하나의 해 $y(x)$가 존재한다.$R:\,|x-x_0| 해의 유일성(Uniqueness)해의 존재 조건을 만족하면서 편도함수 $\frac{\partial f}{\partial y}$가 영역 $R$에서 연속이고 유계일 때, 해는 오직 하나만 존재한다. 해의 존재성과 유일성에 대한 증명은 공학수학 수준..

비교판정법(The Comparison Test)급수 $\sum a_n,\,\sum b_n$가 모두 0보다 클 때, 다음과 같다.$\sum b_n$이 수렴하고, 모든 $n$에 대해 $a_n\le b_n$일 때, $\sum a_n$ 또한 수렴한다.$\sum b_n$이 발산하고, 모든 $n$에 대해 $a_n\ge b_n$일 때, $\sum a_n$ 또한 발산한다. pf) $s_n,\,t_n,\,t$를 각각 $\sum\limits_{i=1}^na_i,\,\sum\limits_{i=1}^nb_i,\,\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n$이라고 가정하자.두 급수가 모두 0보다 크므로, 수열 $s_n,\,t_n$은 증가하고, 따라서 $t_n\le t$이다.또한, 모든 $n$에 대해 $a_n\le b_..

직교절선(Orthogonal Trajectory)어떤 곡선군 $F(x,\,y,\,c)=0$이 있을 때, 이 곡선들과 교점에서 항상 수직인 곡선군 $G(x,\,y,\,k)=0$을 직교절선(Orthogonal Trajectory)이라고 한다. $G$를 구하기 위해, 두 곡선이 수직으로 만난다면 각 접선의 기울기의 곱은 항상 -1임을 이용합니다. 우선, 주어진 곡선 방정식 $F(x,\,y,\,c)=0$을 $x$에 대해 미분하여 도함수 $\frac{dy}{dx} = f(x,\,y)$를 구합니다. 직교하는 곡선의 기울기는 원래 기울기의 음의 역수이므로, 미분방정식을 다음과 같이 바꿉니다. $\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{f(x,\,y)}$ 변경된 미분방정식을 변수분리법 등을 이용해 적분하여 새로운 ..

적분판정법(The Integral Test)함수 $f$가 구간 $[1,\,\infty]$에서 연속이고 감소하며, 0보다 항상 클 때, $a_n=f(n)$이라면 급수의 수렴 여부는 다음과 같다.$\int_1^{\infty}f(x)dx$가 수렴하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$도 수렴한다.$\int_1^{\infty}f(x)dx$가 발산하면 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n$도 발산한다. 적분 구간을 항상 1부터 잡아야 할 필요는 없습니다. 1보다 큰 정수도 가능합니다. 또한, 함수 $f$가 감소한다는 것은 단조 감소가 아닌 $n$이 충분히 커졌을 때 감소함을 의미합니다.pf) 1) 수렴에 대한 명제 증명$a_n$은 구간 $[n-1,\,n]$를 밑변으로 하고,..