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행렬 방정식(Matrix Equation) 행렬 $A$가 $m\times n$ 행렬이고, $\mathbf{x}$가 $\mathbb{R}^n$에 있을 때, 행렬과 벡터의 곱은 다음과 같고, 이렇게 행렬과 벡터의 곱으로 나타내는 방식을 행렬 방정식(Matrix Equation)이라고 한다.$A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} \mathbf{a_1} & \mathbf{a_2} & \cdots & \mathbf{a_n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=x_1\mathbf{a_1}+x_2\mathbf{a_2}+\cdots+x_n\mathbf{a_n}$이때, $\mathbf{a_1},\cdots,\,\mathb..

2차원 공간에서의 벡터 하나의 열을 가진 행렬을 열 벡터(Column Vector)라고 하며, 단순히 벡터라고도 합니다. 예를 들어 다음과 같은 행렬들은 벡터입니다. $\mathbf{u}=\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix},\,\,\,\mathbf{v}=\begin{bmatrix} 0.2 \\ 0.3 \end{bmatrix}$ 또한 이를 $n$차원으로 확장하면 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있습니다. $\mathbf{u}=\begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_n \end{bmatrix}$ 선형 결합(Linear Combination)$n$차원 안에 벡터 $\mathbf{v_1},\,\mathbf{v_2},\cdots,\,\mathbf..

상수계수 2계 제차 선형 미분방정식(Homogeneous Linear ODEs with Constant Coefficients)다음과 같은 형태를 가진 2계 제차 선형 ODE를 상수계수 2계 제차 선형 ODE라고 한다.$y''+ay'+by=0$이때, $a,\,b$는 상수이다. 상수계수 2계 제차 선형 미분방정식은 $y$를 $e^{\lambda x}$ 꼴로 놓고 해를 구합니다. 그대로 식에 대입하면 식이 다음과 같이 됩니다. ${\lambda}^2+a\lambda+b=0$ 이를 특성 방정식(Characteristic Equation)이라고 하며 이 특성 방정식의 해 $\lambda=\frac{-a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$가 어떤 특징을 가지는 지에 따라 미분방정식의 해를 구하는 방법이 달라집니..

벡터 함수(Vector Function)벡터 함수(Vector Function)은 정의역이 실수 집합이고 치역이 벡터 집합인 함수를 의미한다.3차원 공간에서의 벡터함수 $\mathbf{r}(t)$는 다음과 같이 성분 함수(Component Function)으로 정의된다.$\mathbf{r}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle=f(t)\mathbf{i}+g(t)\mathbf{j}+h(t)\mathbf{k}$이때, $t$는 매개변수이며, $f(t),\,g(t),\,h(t)$는 실수값 함수이다. 벡터 함수의 극한과 연속$\mathbf{r}(t)=\langle f(t),\,g(t),\,h(t)\rangle$일 때, $t=a$에서의 $\mathbf{r}(t)$의 극한은 다음과 같이 ..

실린더(Cylinder)주어진 직선과 평행하면서, 주어진 평면 곡선을 통과하는 모든 직선(모선, ruling)들로 이루어진 곡면을 실린더(Cylinder)라고 한다. 어떤 두 변수와 관련되어 있는 평면 곡선이 나머지 한 변수에 대해 항상 같은 값이 나올 때 평행해지므로, 변수가 $x,\,y,\,z$ 중 하나 이상 빠져 있는 것이 특징이며, 대표적으로 원기둥이 있습니다. 이차 곡면(Quadric Surface)변수 $x,\,y,\,z$를 포함하는 이차 방정식의 그래프를 이차 곡면(Quadric Surface)이라고 한다.$Ax^2+By^2+Cz^2+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz=0$이때, $A,\,B,\,C,\,\cdots,\, J$는 상수이다. 대표적인 이차 곡면으로 다음의 6가지 종류가 있습니다..

직선의 방정식(Equation of a Line)3차원 공간에서 직선 $L$ 위의 어떤 한 점 $P_0(x_0,\,y_0,\,z_0)$와 직선 $L$에 평행한 벡터 $\mathbf{v}$을 알고 있을 때, 직선의 방정식은 다음과 같다.$\mathbf{r}=\mathbf{r_0}+t\mathbf{v}$이때, $\mathbf{r},\,\mathbf{r_0}$는 직선 위의 한 점 $P(x,\,y,\,z)$와 $P_0$의 위치벡터이며, $t$는 독립변수이다.pf) $\mathbf{r}-\mathbf{r_0}$는 항상 $P_0$에서 시작해서 직선 위에 놓이는 벡터로 이 벡터를 $\mathbf{a}$라고 하자.이때, $\mathbf{a}$와 $\mathbf{v}$는 평행한 벡터이므로 변수 $t$에 대해 $\math..

외적(Cross Product)$\textbf{a}=,\,\textbf{b}=$일 때, $\textbf{a}$와 $\textbf{b}$의 외적(Cross Product)혹은 벡터곱(Vector Prouct)는 다음과 같다.$\textbf{a}\times\textbf{b}=$이때, $\textbf{a}$와 $\textbf{b}$는 반드시 3차원 벡터여야 한다.pf) 벡터 $\textbf{a},\,\textbf{b}$와 모두 내적이 $0$인 벡터 $\textbf{c}$가 있다고 가정하자.$\textbf{a}=,\,\textbf{b}=,\,\textbf{c}=$일 때 조건에 의해 다음이 성립한다.$a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3=0$$b_1c_1+b_2c_2+b_3c_3=0$$c_3$을 소거하면 $(a_..

벡터의 내적(Dot Product)$\textbf{a}=$와 $\textbf{b}=$일 때, $\textbf{a}$와 $\textbf{b}$의 내적(Inner Product) 혹은 스칼라곱(Scalar Product)은 다음과 같다.$\textbf{a}\cdot\textbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ 내적의 성질삼차원 공간에서의 벡터 $\textbf{a},\,\textbf{b},\,\textbf{c}$와 스칼라 $c$가 있을 때, 내적의 성질은 다음과 같다.1. $\textbf{a}\cdot\textbf{a}=|\textbf{a}|^2$2. $\textbf{a}\cdot\textbf{b}=\textbf{b}\cdot\textbf{a}$3. $\textbf{a}\cdot(\textbf{b..

벡터(Vector)물체가 위치 $A$에서 위치 $B$로 이동할 때, 시작점 $A$와 끝점 $B$를 가지는 변위벡터 $\textbf{v}$와 상응한다.이때, $\textbf{v}=\overrightarrow{AB}$라고 표현되며, 같은 길이와 같은 방향을 가졌지만 위치가 다른 벡터 $\textbf{u}=\overrightarrow{CD}$에 대해 같다고 표현한다.$(\textbf{u}=\textbf{v})$영벡터(Zero Vector)는 길이가 $0$인 벡터로, 방향이 없는 유일한 벡터이며, $\textbf{0}$으로 표기한다.단위벡터(Unit Vector)는 길이가 $1$인 벡터로 벡터 위에 ^을 달아 표기하며, 방향만을 표현합니다. 벡터의 덧셈벡터 $\textbf{v}$의 시작점과 벡터 $\textbf..

테일러 급수(Taylor Series)와 매클로린 급수(Maclaurin Series)함수 $f$가 수렴 반지름 내에서 매끈(무한히 미분됨)할 때, 함수 $f$의 $x-a$에 대한 테일러 급수(Taylor Series)는 다음과 같다.$f(x)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f'''(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots$$a=0$인 경우, 매클로린 급수(Maclaurin Series)라고 한다.pf) 멱급수 $f(x)=c_0+c_1(x-a)+c_2(x-a)^2+c_3(x-a)^3+\cdots\,\,\,\,(|x-a|이때, $f(a..