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오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)다음의 형태를 띄는 상미분방정식을 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)이라고 한다.$x^2y''+axy'+by=0$이때, $a,\,b$는 상수이다. 오일러-코시 방정식은 $y=x^m$ 꼴로 놓고 해를 구합니다. 따라서 방정식은 다음과 같습니다. $x^2m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^m=0$ 이때 모든 항에 $x^m$을 나누면 $m^2+(a-1)m+b=0$가 되고 이를 보조 방정식(Auxiliary Equation)이라고 합니다. 보조 방정식의 해의 특징은 3가지로 구분됩니다. 먼저, 서로 다른 두 실수 $m_1,\,m_2$를 해로 가지는 경우입니다. 이때, basis가 $x_{m-1},\,x_{m-2}$..

미분 연산자(Differential Operator)다음을 만족하는 연산자 $D$에 대해 미분 연산자(Differential Operator)라고 한다.$Dy=y'=\frac{dy}{dx}$ 이를 확장하면 고계 도함수에 대해 $y''=D^2y,\, y'''=D^3y$로 표현할 수 있습니다. 또, 실제 함수에 적용하면 $D\,\sin=\cos,\,D^2\,\sin=-\sin$과 같이 표현할 수 있습니다. 이를 미분방정식에 적용하면 다음과 같은 이계 ODE $y''+ay'+by=0$에 대해 미분 연산자로 다시 쓸 수 있습니다. $P(D)=D^2+aD+bI$ 이때, $P$는 다항식을 나타내는 연산자이며, $I$는 항등 연산자(Identity Operator)로 $Iy=y$의 관계를 갖는 연산자를 의미합니다. ..

매일 아침 창문을 열면우리는 파란 하늘을 본다.“그냥 그렇지 뭐…”라고 넘기기 쉽지만사실 그 이유는 꽤 흥미로운 과학의 결과다.이 질문은전 세계에서 가장 많이 검색되는 WHY 질문 중 하나로 꼽힌다. 그만큼 많은 사람이 궁금해하는 일상 과학 주제다.하늘 색깔의 비밀, 빛의 산란햇빛은실제로는 여러 색이 섞인 백색광이다. 그 빛이 지구 대기권을 통과할 때공기 중의 질소와 산소 같은 분자에 부딪히면서빛이 여러 방향으로 퍼져 나간다.이 현상을과학자들은 레일리 산란(Rayleigh scattering)이라고 부른다.간단히 말하면,빛의 파장에 따라 산란되는 정도가 달라진다는 뜻이다.왜 특히 파란색일까?빛은 파장에 따라 색이 달라진다.파장이 짧은 빛 → 파란색, 보라색파장이 긴 빛 → 빨간색, 주황색그런데 레일리 산..

어릴 때 들었던 목소리,특정 장소의 소리,한순간 스쳐 간 말 한마디.시간은 많이 흘렀는데그 소리만은 또렷하게 떠오른다.왜 시각보다청각 기억은 이렇게 오래 남을까.사람의 뇌에서소리는감정 처리 영역과 직접적으로 연결된다.청각 정보는시각 정보보다우회 과정이 적다.그래서감정과 바로 엮인다.특히사람의 목소리는뇌에게 아주 중요한 정보다.톤, 속도, 높낮이에는말의 내용보다 많은 정보가 담겨 있다.그래서 같은 말이라도어떤 목소리로 들었는지에 따라기억의 강도가 달라진다.또 하나의 이유는소리가 가진 시간성이다.이미지는한 번에 들어오지만,소리는시간을 따라 흘러온다.이 흐름이기억을 더 깊게 각인시킨다.그래서특정 음악을 들으면과거의 장면이 통째로 떠오르고,어떤 한마디 말은오래도록 머릿속에서 반복된다.이건기억력이 좋아서가 아니다..

별이 쏟아지는 하늘을 보면괜히 생각이 많아진다.어떤 사람은자기 인생을 떠올리고,어떤 사람은우주와 인간의 의미를 생각한다.왜 하필 밤하늘일까.이건 감성의 문제가 아니라진화적 인식 방식과 관련이 있다.인간의 뇌는무작위 속에서패턴과 의미를 찾도록 발달했다.이 능력 덕분에위험을 빨리 감지하고환경을 이해할 수 있었다.밤하늘은이 능력을 자극하기에아주 좋은 조건을 갖고 있다.어둡고조용하고설명되지 않는 거대한 대상이 조합은뇌에게 “의미를 찾아야 할 것 같다”는신호를 준다.그래서 사람은별을 보며선으로 이어 별자리를 만들고,신화와 이야기를 붙였다.사실 별들은서로 아무 관련이 없지만,뇌는 그걸 그대로 두지 않는다.심리학에서는이 현상을패턴 인식 과잉이라고 부른다.정보가 부족할수록뇌는 더 적극적으로 의미를 만들어낸다.밤하늘은정..

사막이나 바다를 배경으로 한 영화에서누군가 바닷물을 마시려다 말리는 장면이 자주 나온다.“그거 마시면 더 위험해진다”는 말도 거의 공식처럼 따라붙는다.이건 과장이 아니다.바닷물은 실제로 갈증을 더 심하게 만든다.이유는바닷물 속 염분 농도에 있다.사람의 몸은혈액과 세포 안의 염분 농도를아주 좁은 범위로 유지하려고 한다.그런데 바닷물은이 기준보다 훨씬 짜다.바닷물을 마시면몸속 염분 농도가 급격히 올라간다.이 순간몸은 균형을 맞추기 위해물을 더 필요로 하게 된다.문제는그 물을 어디서 가져오느냐이다.신장은과도한 염분을 소변으로 배출하려고 한다.그 과정에서염분보다 더 많은 물을 함께 버린다.즉,바닷물을 마시면마신 양보다 더 많은 수분을 잃게 된다.그래서입은 잠깐 적셔지지만몸 전체는 더 탈수 상태로 간다.이 과정이..

종이에 원을 그려보면누구나 비슷한 경험을 한다.머릿속에는 분명 완벽한 원이 있는데,막상 그리면 어딘가 찌그러진다.여러 번 다시 그려도 크게 달라지지 않는다.연습 부족의 문제일까?사실 그렇지 않다.인간은‘완벽한 원’을 개념으로는 이해하지만,그걸 물리적으로 구현하도록 설계된 존재는 아니다.이유는우리 몸의 움직임 구조에 있다.사람의 팔과 손은회전 운동을 하도록 만들어진 게 아니라직선 운동을 이어 붙이는 구조에 가깝다.어깨, 팔꿈치, 손목각 관절은정해진 축을 기준으로만 움직인다.이 관절들이 연속으로 움직이면서원을 흉내 내지만,완벽한 곡선을 지속적으로 유지하긴 어렵다.여기에 하나가 더 얹힌다.인간의 뇌는곡선을 직접 계산하지 않는다.대신“이 정도면 원 같다”는근사치 판단을 한다.그래서 그릴 때도계속 미세하게 보정하..

같은 말을 들었는데어떤 사람은 아무렇지 않게 넘기고,어떤 사람은 며칠씩 곱씹는다.말한 쪽은“그런 뜻 아니었는데?”라고 하고,들은 쪽은“그 말에 상처를 받았다”고 한다.이 차이는 예민함의 문제가 아니다.사람마다 언어를 해석하는 기준 자체가 다르기 때문이다.사람은 말을 들을 때문장 그대로를 받아들이지 않는다.뇌는 말을 듣는 순간자동으로 세 가지를 동시에 처리한다.단어의 의미말한 사람의 의도 추정과거 경험과의 연결이 중에서3번의 영향이 생각보다 훨씬 크다.인지언어학에서는이를 프레임(frame) 개념으로 설명한다.프레임이란어떤 말을 들었을 때그걸 해석하는 기본 틀이다.이 프레임은자라온 환경, 반복된 경험, 관계 기억으로 만들어진다.그래서같은 단어라도사람마다 전혀 다른 감정을 건드린다.예를 들어“너답다”라는 말...

“이건 하면 안 된다는 거 알지.”“전에 그랬다가 손해 봤잖아.”머리로는 분명히 알고 있다.그런데도 비슷한 선택을 다시 한다.그리고 나중에 이렇게 말한다.“이번엔 다를 줄 알았지.”이건 의지가 약해서가 아니다.사람의 학습 방식 자체가 그렇다.사람은‘정보’로 실수를 배우는 존재가 아니라‘경험의 강도’로 실수를 배우는 존재다.인지심리학에서는이를 경험 기반 학습(experience-based learning)이라고 설명한다.어떤 행동이 잘못됐다는 걸논리적으로 이해하는 것과,그 결과를 몸으로 겪는 건뇌에 남는 흔적이 완전히 다르다.예를 들어보자.“과속은 위험하다”는 말을 수십 번 듣는 것실제로 사고 직전까지 가보는 것둘 중 어느 쪽이 더 오래 기억에 남을까.대부분 후자다.뇌는정보보다 감정이 동반된 사건을훨씬 중..

통계로 보면 명확한데,이상하게 사람들은 잘 안 믿는다.“확률이 이렇다”“데이터가 이렇게 나온다”이렇게 설명해도 고개를 끄덕이지 않는다.그런데한 사람의 경험담이나 짧은 사례 하나를 들려주면생각이 바로 바뀌는 경우가 많다.왜 그럴까.사람의 뇌는숫자와 그래프보다이야기에 훨씬 익숙하게 설계돼 있다.인지과학에서는 이를이야기 편향(narrative bias)이라고 부른다.인간은 수천 년 동안통계가 아니라이야기로 지식을 전해왔다.위험, 교훈, 규칙, 가치관이 모든 것이이야기 형태로 축적됐다.그래서 뇌는숫자를 해석하는 것보다이야기를 이해하는 데 훨씬 적은 에너지를 쓴다.예를 들어 이런 상황을 보자.“이 병에 걸릴 확률은 0.1%입니다.”대부분 별 느낌이 없다.하지만“이 병에 걸린 30대 환자가 이렇게 고생했습니다.”라..