Knowledgeforall

오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)다음의 형태를 띄는 상미분방정식을 오일러-코시 방정식(Euler-Cauchy Equation)이라고 한다.$x^2y''+axy'+by=0$이때, $a,\,b$는 상수이다. 오일러-코시 방정식은 $y=x^m$ 꼴로 놓고 해를 구합니다. 따라서 방정식은 다음과 같습니다. $x^2m(m-1)x^{m-2}+axmx^{m-1}+bx^m=0$ 이때 모든 항에 $x^m$을 나누면 $m^2+(a-1)m+b=0$가 되고 이를 보조 방정식(Auxiliary Equation)이라고 합니다. 보조 방정식의 해의 특징은 3가지로 구분됩니다. 먼저, 서로 다른 두 실수 $m_1,\,m_2$를 해로 가지는 경우입니다. 이때, basis가 $x_{m-1},\,x_{m-2}$..

미분 연산자(Differential Operator)다음을 만족하는 연산자 $D$에 대해 미분 연산자(Differential Operator)라고 한다.$Dy=y'=\frac{dy}{dx}$ 이를 확장하면 고계 도함수에 대해 $y''=D^2y,\, y'''=D^3y$로 표현할 수 있습니다. 또, 실제 함수에 적용하면 $D\,\sin=\cos,\,D^2\,\sin=-\sin$과 같이 표현할 수 있습니다. 이를 미분방정식에 적용하면 다음과 같은 이계 ODE $y''+ay'+by=0$에 대해 미분 연산자로 다시 쓸 수 있습니다. $P(D)=D^2+aD+bI$ 이때, $P$는 다항식을 나타내는 연산자이며, $I$는 항등 연산자(Identity Operator)로 $Iy=y$의 관계를 갖는 연산자를 의미합니다. ..