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Midpoint Rule$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx \Delta x[f(\bar x_1)+f(\bar x_2)+\cdots+f(\bar x_n)]$$\Delta x=\frac{b-a}{n}$, $\bar x_i=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_i)$ Midpoint Rule은 적분이 매우 어렵거나 불가능한 함수일 때, 적분을 하지 않고 직사각형을 이용해 정적분의 값을 근사하는 방법입니다. 두 점의 중점을 이용해 넓이를 구하지 않고, 두 점 중 왼쪽 점이나 오른쪽 점을 기준으로 값을 근사하는 방법도 있습니다. 그래프로 나타내면 다음과 같습니다. (a)처럼 왼쪽 점을 기준으로 근사한 것을 Left Endpoint Approximation, (b)처럼 오른쪽 점을 기준으로 근사한 것..

유리함수의 적분 유리함수의 적분에서 가장 중요한 것은 유리식을 어떻게 부분 분수의 형태로 바꿀 것인가 입니다. 우선, 유리식이 가분수 형태(분자의 차수≥분모의 차수)일 때는 다항식과 진분수 형태로 만듭니다. 이제 남은 진분수 형태를 부분 분수로 바꾸는 유형으로 크게 네 가지를 다룹니다. 1) 진분수의 몫 $Q(x)$이 서로 다른 선형(1차식)일 때 $Q(x)=(a_1x+b_1)(a_2x+b_2)$· · ·$(a_kx+b_k)$ 꼴이므로 유리식의 형태는 다음과 같이 부분 분수로 변형할 수 있습니다. $\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{a_1x+b_1}+\frac{A_2}{a_2x+b_2}+\cdots+\frac{A_k}{a_kx+b_k}$ 분자의 $x$에 관한 항등식을 풀어 부분 분수 식..

삼각치환법적분 형태에 $\sqrt{a^2-x^2},\,\sqrt{a^2+x^2},\,\sqrt{x^2-a^2}$과 같은 형태가 나타날 때, 삼각치환법을 사용한다.$\sqrt{a^2-x^2}$ ${\to}$ $x=a\sin\theta,$ $-\frac{\pi}{2}≤\theta≤\frac{\pi}{2}$$\sqrt{a^2+x^2}$ ${\to}$ $x=a\tan\theta,$ $-\frac{\pi}{2}≤\theta≤\frac{\pi}{2}$$\sqrt{x^2-a^2}$ ${\to}$ $x=a\sec\theta,$ $0≤\theta≤\frac{\pi}{2}, \pi≤\theta≤\frac{3\pi}{2}$ ex) $\int\frac{x}{\sqrt{x^..

$\sin^mx\cos^nx$의 적분(a) $cos$의 지수가 홀수일 때($n=2k+1$), $cos$ 1개만 남겨두고 나머지는 $\cos^2x=1-\sin^2x$를 이용해 $sin$에 관한 식으로 바꾼다.$\int\sin^mx\cos^{2k+1}xdx=\int\sin^mx(\cos^2x)^k\cos xdx$$=\int\sin^mx(1-\sin^2x)^k\cos xdx$그리고, $u=\sin x$로 치환하여 계산한다.(b) $sin$의 지수가 홀수일 때($n=2k+1$), $sin$ 1개만 남겨두고 나머지는 $\sin^2x=1-\cos^2x$를 이용해 $cos$에 관한 식으로 바꾼다.$\int\sin^{2k+1}x\cos^nxdx=\int(\sin^2x)^k\cos^nx\sin xdx$$=\int(1-\..

부분적분법(Integration by Parts)함수 $f$와 $g$가 미분가능한 함수일 때,$\int f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)-\int g(x)f'(x)dx$ 부분적분법은 곱해져 있는 두 함수의 형태에서 한 함수를 미분된 형태로 보고 적용하는 적분 기술입니다. 일반적으로 적분이 더 쉽고 간단한 형태가 되는 함수를 $g'$으로 설정합니다. 정적분에서의 부분적분법$f'$와 $g'$가 연속일 때,$\int_{a}^{b} f(x)g'(x) dx=f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} g(x)f'(x)dx$ ※James Stewart Calculus 성균관대판을 기반으로 작성하였습니다.

함수의 평균값(Average Value of a Function)구간 $[a,\,b]$에서 함수 $f$의 평균값은 다음과 같이 정의한다.$f_{ave}=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$ ※James Stewart Calculus 성균관대판을 기반으로 작성하였습니다.