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무게중심(Center of Mass)과 모멘트(Moment)질량이 $m_i$인 점들이 좌표 $x_i$에 있을 때, 원점에 대한 모멘트 $M$은 다음과 같다.$M=\sum{m_ix_i}$이때, 전체 질량을 $m$이라고 하면, 무게중심 $\bar x$는 $\bar x=\frac{M}{m}$이다. 2차원 평면에서 질량이 다른 여러 점들의 모멘트는 $x$축과 $y$축에 대해 각각 정의됩니다.$M_y=\sum\limits_{i=1}^{n}m_ix_i$ $M_x=\sum\limits_{i=1}^{n}m_iy_i$ 따라서, 전체 계의 무게 중심은 $(\bar x,\,\bar y)=(\frac{M_y}{x},\,\frac{M_x}{y})$가 됩니다. 이제 2차원에서 점들의 모멘트에서 확장해 밀도가 $\rho$로 균일한..

표면적(Surface Area)의 넓이구간 $[a,\,b]$에서 곡선 $y=f(x)$을 $x$축을 기준으로 회전시킨 회전체의 겉넓이(Surface Area)는 다음과 같다.$S=\int_a^b 2\pi f(x)\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx$pf) 곡선 $y=f(x)$위의 미소 선분의 길이 $ds$를 $x$축 둘레로 회전시키면 반지름이 $y$인 원뿔대가 형성됩니다. 이 원뿔대의 옆면의 겉넓이 $dA$를 모두 더하면 전체 회전체의 겉넓이 $S$가 나온다.$dA=2\pi y·ds, S=\int 2\pi yds$이것에 대한 증명은 실제로 계산해보면 어렵지 않으니 넘어가도록 하겠다.이제 $ds$는 호의 길이에 대한 적분 식을 이용하여 계산한다.$ds=\sqrt{(dx)^2+(dy)^2}=\sqrt{1+(\..

곡선의 길이(Arc Length)$f'$가 구간 $[a,\,b]$에서 연속일 때 구간 $[a,\,b]$에서 곡선 $y=f(x)$의 길이는 다음과 같다.$L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx$pf 1) 곡선의 길이 $L$은 미세하게 나눈 선분들의 길이의 합에 극한을 취하여 구한다.구간$[a,\,b]$을 $n$개의 간격$(x_0,\,x_1,\cdots, x_n)$으로 나눴을 때, $y_i=f(x_i)$를 만족하는 $(x_i,\,y_i)$를 점 $P_i$라고 하면 곡선의 길이 $L$은 다음과 같다.$L=\lim\limits_{n \to \infty}\sum\limits_{i=1}^{n}|{P_{i-1}P_i}|$이때, $|{P_{i-1}P_i}|=\sqrt{(x_i-x_{i..

특이적분(Improper Integral) 특이적분은 적분 구간이 무한하거나(Type 1), 적분 구간 내에 함수가 불연속인(Type 2) 경우의 적분을 다룹니다. 특이적분 Type 1: 무한 구간에서의 적분적분 구간의 한쪽($-\infty$나 $\infty$)이 무한한 경우: 극한을 사용하여 정의$\int_{a}^{\infty} f(x) dx = \lim\limits_{t \to \infty} \int_{a}^{t} f(x) dx$$\int_{-\infty}^{b} f(x) dx = \lim\limits_{t \to -\infty} \int_{t}^{b} f(x) dx$적분 구간의 양쪽이 무한한 경우: 임의의 점 $c$를 기준으로 나누었을 때 두 특이적분이 모두 수렴하면 수렴$\int_{-\infty}..