상수의 미분: $\frac{d}{dx}(c)=0$
pf) $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{c-c}{h}=0$
상수배 함수의 미분: $(cf)'=cf'$ ($c$는 상수이고, $f$는 미분가능)
pf) $g(x)=cf(x)$라고 가정하자.
$g'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{cf(x+h)-cf(x)}{h}=c\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}=cf'(x)$
미분의 덧셈 법칙: $(f\pm g)'=f'\pm g'$ ($f$와 $g$는 미분가능)
pf) $F(x)=f(x)\pm g(x)$라고 가정하자.
$F'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{(f(x+h)\pm g(x+h))-(f(x)\pm g(x))}{h}$
$=\lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\pm\lim\limits_{h \to 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h}$
$=f'(x)\pm g'(x)$
$e^x$의 미분: $\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$
pf) $f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^{x+h}-e^x}{h}=e^x\lim\limits_{h \to 0} \frac{e^h-1}{h}=e^x$
미분의 곱셈 법칙: $(fg)'=fg'+gf'$ ($f$와 $g$는 미분가능)
pf) $u=f(x), v=g(x)$라고 가정하자.
그러면 $\Delta u=f(x+\Delta x)-f(x), \Delta v=g(x+\Delta x)-g(x)$ 이다.
$\Delta(uv)=(u+\Delta u)(v+\Delta v)-uv=u\Delta v+v\Delta u+\Delta u\Delta v$
$\frac{\Delta(uv)}{\Delta x}=u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\Delta u\frac{\Delta v}{\Delta x}$
$\Delta x \to 0$이면
$\frac{d}{dx}(uv)=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta(uv)}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} (u\frac{\Delta v}{\Delta x}+v\frac{\Delta u}{\Delta x}+\Delta u\frac{\Delta v}{\Delta x})$
$=u\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}+v\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}+
(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \Delta u)(\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x})$
$=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}+0×\frac{dv}{dx}=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}$
미분의 몫의 법칙: $(\frac{f}{g})'=\frac{gf'-fg'}{g^2}$ ($f$와 $g$는 미분가능)
pf) $u=f(x), v=g(x)$라고 가정하자.
$\Delta(\frac{u}{v})=\frac{u+\Delta u}{v+\Delta v}-\frac{u}{v}=\frac{(u+\Delta u)v-u(v+\Delta v)}{v(v+\Delta v)}=\frac{v\Delta u-u\Delta v}{v(v+\Delta v)}$
$\frac{d}{dx}(\frac{u}{v})=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u/v}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{v\frac{\Delta u}{\Delta x}-u\frac{\Delta v}{\Delta x}}{v(v+\Delta v)}=\frac{v\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta u}{\Delta x}-u\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta v}{\Delta x}}{v\lim\limits_{\Delta x \to 0} (v+\Delta v)}=\frac{v\frac{du}{dx}-u\frac{dv}{dx}}{v^2}$
삼각함수의 미분: $\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x,\,\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x,\,\frac{d}{dx}(\tan x)=\sec^2 x$
$\frac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x,\,\frac{d}{dx}(\sec x)=\sec x \tan x,\,\frac{d}{dx}(\cot x)=-\csc^2 x$
pf) $\sin x$의 미분
$(\sin x)'=\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin (x+h)-\sin (x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{\sin x\cos h+\cos x\sin h-\sin x}{h}$
$=\sin x\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}+\cos x=\cos x$
$\cos x$의 미분
$(\cos x)'=\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos (x+h)-\cos (x)}{h}=\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos x\cos h-\sin x\sin h-\cos x}{h}$
$=\cos x\lim\limits_{h \to 0} \frac{\cos h-1}{h}-\sin x=-\sin x$
$\tan x,\,\csc x,\,\sec x,\,\cot x$도 각각
$\frac{\sin x}{\cos x},\,\frac{1}{\sin x},\,\frac{1}{\cos x},\,\frac{1}{\tan x}$의 형태로 몫의 미분을 이용한다.
합성함수의 미분(The Chain Rule): $(f·g)'=f'(g) · g'$
($g$가 $x$에서 미분가능하고 $f$가 $g(x)$에서 미분가능)
pf) $u=g(x)$로 놓으면 $y=f(u)$가 된다.
$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(u)=\frac{du}{dx}·\frac{dy}{du}=g'f'(g)$
지수함수의 미분: $\frac{d}{dx}(b^x)=b^x{\ln b}$
pf) $\frac{d}{dx}(b^x)=\frac{d}{dx}(e^{(\ln b)x})=e^{(\ln b)x}\frac{d}{dx}(\ln b)x=e^{(\ln b)x}·\ln b=b^x \ln b$
로그함수의 미분: $\frac{d}{dx}(\log_b x)=\frac{1}{x \ln b}$
pf) $y=\log_b x$라고 가정하자.
그러면 $b^y=x$이다. 음함수의 미분을 적용하면
$b^y(\ln b)\frac{dy}{dx}=1$이므로
$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{b^y \ln b}=\frac{1}{x\ln b}$
자연로그함수의 미분: $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$
pf) 로그함수의 미분에서 로그의 밑에 $b$ 대신 $e$를 적용하면 $\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x}$
로그미분법(Logarithmic Differentiation)
1. 양 변에 로그를 취합니다.
2. $x$에 대해 음함수 미분을 합니다.
3. $y'$을 구합니다.
$x^n$의 미분: $(x^n)'=nx^{n-1}$ (n은 실수)
pf) 로그미분법을 이용하여 양변에 로그를 취한다.
$ln |y|=\ln |x|^n=n\ln |x|$
$\frac{y'}{y}=\frac{n}{x}$
따라서, $y'=n\frac{y}{x}=n\frac{x^n}{x}=nx^{n-1}$
※James Stewart Calculus 성균관대판을 기반으로 작성하였습니다.
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